Hãy thuộc NDTLS giải hết 101 bài bác toán về tứ giác nội tiếp như thế nào. Kiến thức hình học của các bạn sẽ được củng núm tương đối nhiều để đầy niềm tin lao vào kì thi học viên giỏi cấp tỉnh tương tự như chăm toán.

Bạn đang xem: Bài tập tứ giác nội tiếp có lời giải

Bài số 1:

Cho ABC vuông sống A. Trên AC đem điểm M với vẽ con đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn trên D. Đường thẳng DA cắt Đường tròn trên S. Chứng minh rằng:

a) Tứ đọng giác ABCD nội tiếp.

b) Hai góc ABD và ACD bởi nhau

c) CA là phân giác của góc SCB

Hướng dẫn giải:


a) Dễ thấy nhị góc BAC với BDC thuộc bằng 90 độ => ABCD nội tiếp.

b) Trong đường tròn nước ngoài tiếp tđọng giác ABCD , nhì góc ABD cùng ACD là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD đề nghị bởi nhau

c) Trong đường tròn ngoại tiếp tđọng giác ABCD , nhị góc ACB cùng ADB là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB nên đều bằng nhau.


Lại bao gồm góc ADB = góc DSM + DMS = MCS

Phát triển bài xích toán: Bài này rất có thể hỏi thêm như chứng minh SH // AB

Bài số 2:

Cho tứ đọng giác ABCD nội tiếp nửa con đường tròn 2 lần bán kính AD. Hai mặt đường chéo AC và BD giảm nhau trên E. Vẽ EF vuông góc cùng với AD. Chứng minh:

a) Tứ đọng giác ABEF, tứ giác DCEF nội tiếp .

b) CA là phân giác của góc BCF

c) Điện thoại tư vấn M là trung điểm của DE. Chứng minc tđọng giác BCMF nội tiếp

Hướng dẫn giải:

a) Dễ rồi nhé

b) Ta tất cả nhị góc C3 với D3 bằng nhau, hai góc ECF = D3 => đpcm

c) Ta theo thứ tự chứng tỏ góc C1 = D1 = A1 = F1 ; D3 = F3 ; F2 = ECM, C3 = F3

=> BFM + BCM = F2 + F3+ BFM = 180 độ

Phát triển bài xích toán: Ta thấy E là giao điểm 3 phân giác của tam giác BCF. Vì vậy có thể hỏi thêm minh chứng E bí quyết hồ hết 3 cạnh của tam giác BCF giỏi E là trung ương con đường tròn nội tiếp tam giác BCF

Bài số 3: 

Tứ giác ABCD nội tiếp con đường tròn đường kính AD . Hai con đường chéo AC , BD cắt nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E bên trên AD là F . Đường thẳng CF giảm mặt đường tròn trên điểm máy nhị là M . Giao điểm của BD cùng CF là N . Chứng minc :

a) CEFD là tứ giác nội tiếp .

b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM .

c) BE . DN = EN . BD

Hướng dẫn giải:

a) Dễ

b) Chứng minh tương tự bài bác 2 ta có góc F2 = F3

Ta chứng minh tiếp F4 + F3 = F2 + F1. Vậy F4 = F1 = F5 => FA là tia phân giác của góc BFM .

c) FA là tia phân giác của góc BFM yêu cầu FD là phân giác của góc CFI

FE là phân giác của tam giác BFN đề xuất BF/FN = BE/EN

FD là phân giác của góc ko kể của tam giác BFN nên BF/FN = BD/ND

Vậy BE/EN = BD/ND => BE . DN = EN . BD

Bài số 4: 

Cho tam giác ABC vuông sinh sống A cùng một điểm D nằm giữa A với B . Đường tròn 2 lần bán kính BD giảm BC tại E . Các mặt đường thẳng CD , AE theo lần lượt giảm con đường tròn trên những điểm lắp thêm nhì F , G . Chứng minh :

a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD .

b) Tứ giác ADEC cùng AFBC nội tiếp được trong một đường tròn .

c) AC song song cùng với FG .

d) Các mặt đường thẳng AC , DE và BF đồng quy .

Bài số 5

*

a) dễ

b) CM là phân giác của ∠BCS∠BCSTứ giác CSDM nội tiếp ⇒ góc SCM= góc ADMTứ giác CDAB nội tiếp⇒góc BCM= góc ADM⇒góc BCM=góc SCM⇒CM là tia phân giác góc BCS

c) TA/TD=TC/TBXét tam giác BCTAC cùng TN là 2 con đường cao giảm nhau tại M⇒ BM vuông góc với CTcơ mà CD vuông góc cùng với MB⇒C, D, T thẳng hàngdễ dãi cm được ΔTCA∼ΔTBD⇒ đpcm

Bài số 7

*

Câu 1) Dễ

Câu 2) E ở trên tuyến đường trung trực của AC yêu cầu minh chứng được: góc AEH = CEH = BEK

Chứng minh được nhì tam giác đồng dạng: AEH với BEK => góc BKE vuông

=> AHEK nội tiếp

Câu 3) Kẻ 2 lần bán kính AI => tam giác ABI vuông trên B, theo pytago ta có

*

Bài số cửu (Theo thưởng thức của bạn Dark)

Cho tam giác ABC không cân nặng, mặt đường cao AH, nội tiếp vào con đường tròn trung tâm O. Call E, F thứ từ là hình chiếu của B, C lên đường kính AD của con đường tròn (O) và M, N lắp thêm tự là trung điểm của BC, AB. Chứng minh:

a) Bốn điểm A, B, H, E thuộc ở trên tuyến đường tròn vai trung phong N với HE// CD.

b) M là trung khu đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF

*

a) Bốn điểm A, B, H, E cùng ở trê tuyến phố tròn trung ương N (dễ nhé)

HE // CD (Vì Góc FCB = góc EBC cùng bằng góc HAO)

b) ABHE nội tiếp => góc EHC = góc BAE nhưng góc BAE = góc BCD phải góc EHC = góc BCD

=> HE // CD

Mà AC vuông góc với CD yêu cầu HE vuôn góc với AC, lại có MN //AC vậy MN vuông góc cùng với HE

Ta minh chứng được EN = Hà Nội (cùng bởi nửa AB). Tam giác HNE cân tại N, NM là đường cao đề nghị cũng là mặt đường trung trực => ME = MH (1)

Ta cũng chứng tỏ được HF // BD (vì AHFC nội tiếp => góc CHF =góc FAC = góc CBD)

điện thoại tư vấn I là trung điểm của AC. Chứng minch tương tự như ta có IM //AB bắt buộc vuôn góc với BD với HF,

Tam giác HIF cân nặng tại I. IM là đường trung trực của HF => MH = MF (2)

(1),(2) => đpcm

Bài số 11 (Theo những hiểu biết của công ty Thảo Chi)

*

a) SAOB, SAEO nội tiếp => 5 điểm S, A, E, O, B cùng trực thuộc một mặt đường tròn

b) Nếu SA = AO thì tam giác SAO, SBO vuông cân nặng tại A và B => SAOB là hình vuông vắn.

c) Chứng minc nhị tam giác SAC và SDA đồng dạng => AC/DA = SA/SD (1)

Chứng minch nhì tam giác SBC cùng SDB đồng dạng => BD/BC = SD/SB (2)

Nhân vế với vế (1) và (2) ta tất cả (AC.BD)(DA.BC) = 1 => AC.BD = BC.DA (*)

Chứng minch hai tam giác đồng dạng ACE với ABD (góc ACE = Góc ABD, góc AEC = góc ADB thuộc bởi góc ABS) => AC/AB = CE/BD => AC.BD = AB.CE (3)

Chứng minc nhị tam giác ACB với AED đồng dạng (g-g) => CB/ED = AB/AD

=>CB.AD = AB.ED (4)

Từ (3),(4) => AC.BD + CB.AD = AB(CE + ED) = AB.CD (**)

Từ (*) và (**) => AC.BD = BC.DA = AB.CD/2

Bài tập 12 (quý khách trangks2004 hỏi)

Cho nửa con đường tròn (O; R) 2 lần bán kính AB. Kẻ tiếp đường Bx với rước nhì điểm C và D nằm trong nửa mặt đường tròn. Các tia AC cùng AD giảm Bx theo thứ tự sinh sống E, F (F ở giữa B cùng E).

a) Chứng minch AC. AE ko đổi.

b) Chứng minch góc ABD = góc DFB

c) Chứng minc rằng CEFD là tđọng giác nội tiếp.

*

a) Tam giác ABE vuông trên B, đường cao BC => AC.AE = AB2 ko đổi.

b) góc ABD = góc DFB (1) do thuộc phụ với góc DBF

c) ACDB nội tiếp => góc ABD = góc DCE (2)

từ bỏ (1) với (2) => góc DFB = góc DCE => CEFD là tứ giác nội tiếp.

Bài tập 13 (Theo ý kiến đề xuất của chúng ta Quý)

Trên mặt đường thẳng d rước ba điểm A,B,C theo vật dụng từ bỏ kia. Trên nửa khía cạnh phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By thuộc vuông góc với d. Trên tia Ax đem I. Tia vuông góc cùng với CI trên C cắt con đường thẳng By trên K. Đường tròn đường kính IC giảm IK trên P.

a) Chứng minc tứ giác CBPK nội tiếp được đường tròn .

b) Chứng minc AI.BK = AC.CB

*

a) Hai góc KPC cùng KBC vuông => CBPK nội tiếp được con đường tròn .

b) Chứng minch nhị tam giác IAC và CBK đồng dạng (g-g) => AC/BK = IA/BC => AC.BC = IA.BK

Bài số 14: (Theo thử dùng của người sử dụng Linh Le)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH, vẽ mặt đường tròn đường kính AH, đường tròn này giảm AB tại E, cắt AC tại F.

a) Chứng minc AEHF là hình chữ nhật.

b) Chứng minh: BEFC là tđọng giác nội tiếp .

c) Chứng minh: AB.AE = AC.AF

d) Call M là là giao điểm của CE và BF. Hãy so sánh diện tích S của tđọng giác AEMF và diện tích của tam giác BMC.

*

a) b) dễ

c) Chứng minc AB.AE = AH2 = AC.AF

d) Ta sẽ so sánh diện tích 2 tam giác ABF và BEC

Điện thoại tư vấn diện tích tam giác ABC là S. Ta có:

S(ABF)/S = AF/AC

S(BEC)/S = BE/AB

Hai tam giác BEH với BAC đồng dạng => BE/AB = EH/AC => BE.AC = AB.EH

=> BE.AC = AB.AF => AF/AC = BE/AB

Vậy S(ABF) = S(BEC) => S(AEMF) = S(BMC)

Bài số 18: (Theo yên cầu của khách hàng Kuju)

Cho mặt đường tròn (O; R), xuất phát từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp con đường d với (O). Trên con đường trực tiếp d đem điểm M bất kì ( M khác A) kẻ mèo con đường MNPhường cùng điện thoại tư vấn K là trung điểm của NP, kẻ tiếp đường MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC vg MB, BD vg MA, Call H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM cùng AB.

a) Chứng minc tứ giác AMBO nội tiếp.

b) Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trong một đường tròn .

c) Chứng minh OM = R2; OI. IM = IA2.

d) Chứng minh OAHB là hình thoi.

e) Chứng minch cha điểm O, H, M thẳng sản phẩm.

f) Tìm quỹ tích của điểm H khi M dịch chuyển trên phố trực tiếp d.

Hướng dẫn:

*

a) Hai góc OAM và OBM vuông => AMBO nội tiếp.

b) AMBO và OKMB nội tiếp=> năm điểm O, K, A, M, B thuộc nằm trong một mặt đường tròn

c) Chứng minh M, H, I, O thẳng sản phẩm với XiaoMi MI vuông góc với AB (bởi vì OM cùng MH thuộc vuông với AB) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM, mặt đường cao AI là ra.

d) AH//OB (cùng vuông cùng với BM), AO//BH (thuộc vuông với AM), OA = OB => OAHB là hình thoi.

e) Đã làm cho nghỉ ngơi câu c

f) Lấy O’ đối xứng cùng với O qua A. Ta minh chứng được góc OHO’ = 90 độ. OO’ nắm định

=> quỹ tích của điểm H khi M dịch rời trê tuyến phố thẳng d là đường tròn (A; AO)

các bài tập luyện 19 (Theo yên cầu của khách hàng Hà Trang)

Cho 3 điểm A; B; C cố định và thắt chặt thẳng hàng theo thiết bị từ. Vẽ mặt đường tròn (O) bất kỳ đi qua B cùng C (BC ko là đường kính của (O)). Kẻ các tiếp con đường AE với AF với (O) (E; F là các tiếp điểm). Hotline I là trung điểm của BC; K là trung điểm của EF, giao điểm của FI với (O) là D. Chứng minh:

a) AE2 = AB.AC

b) Tứ đọng giác AEOF nội tiếp

c) Năm điểm A; E; O; I; F thuộc nằm trong một mặt đường tròn.

d) ED tuy vậy tuy vậy với AC.

e) khi (O) thay đổi chổ chính giữa mặt đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn luôn trực thuộc một mặt đường trực tiếp cố định và thắt chặt.

Xem thêm: Top 5 Phần Mềm Chỉnh Độ Sáng Màn Hình Máy Tính Tốt Nhất, Download Desktop Lighter

*

Câu a,b,c cơ bản

d) Ta chứng minh được góc EDF = góc AEF = góc AIF => ED //AC

e) hotline J là giao điểm của EF cùng AC, ta gồm OKJI nội tiếp đề xuất con đường tròn nước ngoài tiếp tam giác OIK chính là mặt đường tròn ngoại tiếp tứ đọng giác OKJI. khi O đổi khác thì OK,OI, KJ chỉ bao gồm IJ ko đổi bởi EF, AC ko thay đổi => Tâm mặt đường tròn nước ngoài tiếp tứ đọng giác OKJI luôn luôn nằm trên tuyến đường trung trực cố định của IJ.