Tích của vectơ với một trong những hình học lớp 10

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa tích của vectơ cùng với một số trong những. Cho số k và vectơ

*
, dựng được vectơ k
*
.

Bạn đang xem: Tính chất trung điểm của vecto

2. Các đặc thù của phnghiền nhân vectơ với 1 số: Với nhì vectơ 

*
*
tùy ý và với tất cả số k, h ∈
*
ta có:

k(
*
*
) = k
*
+ k
*
;(h + k)
*
= h
*
+ k
*
;h(k
*
) = (hk)
*
;1.
*
*
; (-1)
*
= –
*
; 0.
*
*
; k.
*
*

3. Hai vectơ 

*
*
với 
*
 ≠ 
*
thuộc phương thơm lúc và chỉ khi tất cả số k để 
*
= k
*
. Cho nhì vectơ 
*
và 
*
cùng phương 
*
 ≠ 
*
. Ta luôn luôn tìm kiếm được số k để 
*
= k
*
và khi ấy số k kiếm được là độc nhất vô nhị.


4. Áp dụng:

Ba điểm minh bạch A,B,C thẳng hàng ⇔
*
= k
*
, với số k xác đinh.I là trang điểm của đoạn thẳng AB ⇔
*
+
*
= 2
*
, ∀M.G là giữa trung tâm của tam giác ABC ⇔
*
+
*
+
*
= 3
*
, ∀M.

5. Cho hai vectơ

*
,
*
) ko cùng pmùi hương với
*
là 1 trong những vectơ tụỳ ý. Bao giờ đồng hồ cũng tìm kiếm được cặp số h cùng k tuyệt nhất làm sao để cho
*
= h
*
+ k
*
.

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Vấn đề 1.

Xác định vectơ k

*

|k
*
| = |k||
*
|

Nếu k > 0, k

*
*
cùng hướng;

Nếu k

k.
*
*
, 0.
*
, 0.
*
*
1.
*
*
, (-1)
*
= –
*
.

2. Các ví dụ

lấy ví dụ 1: Cho 

*
*
cùng điểm O. Xác định nhị điểm M với N sao cho 
*
= 3
*
*
= -4
*

Giải

Vẽ đường thẳng d đi qua O với song tuy vậy với cái giá của 

*
. (Nếu O thuộc giá chỉ của 
*
thì d là giá bán của 
*
) (h.1.18)

Trên d đem điểm M làm sao để cho OM = 3|

*
|, 
*
và 
*
thuộc phía khi đó 
*
= 3
*
. Lấy điểm N bên trên d làm thế nào cho ON = 4|
*
|, 
*
và 
*
ngược hướng, Lúc đó 
*
= -4
*

Ví dụ 2: Cho đoạn trực tiếp AB với M là một trong những điểm bên trên đoạn AB làm thế nào cho AM =

*
AB. Tìm số k trong những đẳng thức sau:

a) 

*
= k
*
;

b) 

*
= k
*
;

c) 

*
= k
*

GIẢI

(h.1.19)

lấy một ví dụ 3

a) Chứng minc vectơ đối của vectơ 5

*
là (-5)
*
.

b) Tìm vectơ đối của những vectơ 2

*
+ 3
*
*
– 2
*

GIẢI

Vấn đề 2

Phân tích (biểu thị) một vectơ theo hai vectơ ko thuộc phương

1. Pmùi hương pháp

a) Để phân tích vectơ

*
*
theo hai vectơ không cùng phương 
*
*
*
*
ta làm cho nhỏng sau:

– Vẽ hình bình hành OA’CB’ tất cả nhị đỉnh O, cùng nhị cạnh OA’ cùng OB’ theo lần lượt nằm ở nhì giá bán của

*
,
*
(h.1.20).

Ta gồm

*
=
*
 +
*

Xác định số h nhằm
*
= h
*

Xác định số k để

*
= k
*
.

Lúc kia

*
= h
*
+ k
*
.

b) cũng có thể thực hiện linch hoạt những công thức sau :

*
 =
*
*
, cùng với tía điểm 0,A,B bất cứ ;
*
 =
*
+
*
 nếu như tứ giác ABCD là hình hình hành.

2. Các ví dụ

ví dụ như 1. Cho tam giác ABC có giữa trung tâm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của những cạnh BC, CA, AB với I là giao điểm của AD cùng EF.

Đặt

*
=
*
,
*
=
*
. Hãy phân tích những vectơ
*
,
*
,
*
,
*
theo nhì vectơ
*
,
*
.

GIẢI

lấy ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC làm sao để cho MB = 2MC. Hãy phân tích vectơ

*
theo nhị vectơ
*
=
*
,
*
=
*
.

GIẢI

Vấn đề 3

Chứng minh cha điểm trực tiếp mặt hàng, hai đường thẳng song song

1. Phương pháp

Dựa vào các xác minh sau :

Ba điểm rành mạch A, B, cthẳng sản phẩm ⇔
*
với
*
cùng phương ⇔
*
= k
*
.Nếu 
*
= k
*
cùng hai tuyến đường thẳng AB với CD rõ ràng thì AB // CD.

2. Các ví dụ

lấy ví dụ như 1. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K là vấn đề bên trên cạnh AC làm thế nào để cho AK =

*
AC. Chứng minc tía điểm B, I, K trực tiếp hàng.

GIẢI

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi vì những hệ thức :

*
+
*
=
*
,
*
 –
*
 – 3
*
=
*
. Chứng minc MN//AC.

GIẢI

Tacó 

*
*
+
*
 –
*
 – 3
*
*

hay (

*
*
) + (
*
*
) – 3
*
*

*
*
– 3
*
*

*
= 2
*

Vậy

*
cùng phương vói AC.

Theo đưa thiết ta bao gồm

*
=
*
, nhưng A, B, C không thẳng mặt hàng bắt buộc tứ điểm A, B, C, M là 1 trong những hình bình hành.

Từ đó suy ra M không nằm trong đường trực tiếp AC với MN // AC.

Vấn đề 4

Chứng minh những đẳng thức vectơ gồm cất tích của vectơ vói một số

1. Phương thơm pháp

Sử dụng đặc điểm tích của vectơ cùng với một trong những.Sử dụng các đặc thù của : tía điểm thảng mặt hàng, trung điểm của một quãng thẳng, giữa trung tâm của tam giác.

2. Các ví dụ

lấy một ví dụ 1. hotline M cùng N thứu tự là trung điểm của nhì đoạn thẳng AB và CD. Chứng minc rằng 2

*
*
+
*
.

GIẢI

Vì N là trung điểm của đoạn trực tiếp

*
bắt buộc 2
*
=
*
+
*
.

Mặt không giống

*
=
*
+
*
,
*
=
*
+
*
 nên

.

*
+
*
*
+
*
*
+
*
=
*
+
*
+ (
*
+
*
)

=

*
+
*
(bởi vì M là trung điểm của AB).

Vậy 2

*
=
*
+
*

lấy ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minch rằng

*
+ 2
*
+
*
= 3
*
.

GIẢI

Vì ABCD là hình bình hành yêu cầu

*
+
*
=
*
. Do đó

*
+ 2
*
+
*
= (
*
+
*
) + 2
*
=
*
+ 2
*
= 3
*
.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng ví như G cùng G’ theo thứ tự là giữa trung tâm của nhì tam giác ABC cùng A’B’C’ thì 3

*
=
*
+
*
 +
*
.

GIẢI

Vì G’ là trung tâm của tam giác A’B’C’ nên

3

*
=
*
+
*
+
*
. (1)

ngoài ra

*
=
*
+
*

*
=
*
+
*
 

*
=
*
+
*
.

Cộng từng vế tía đẳng thức bên trên cùng vày

*
+
*
+
*
=
*
nên

*
+
*
+
*
=
*
+
*
 +
*
. (2)

Từ (1) với (2) suy ra 3

*
*
+
*
+
*
.

cũng có thể minh chứng nlỗi sau

Ta có

*
=
*
+
*
*

*
=
*
+
*
+
*

*
=
*
+
*
+
*
.

Cộng từng vế của tía đẳng thức trên và thực hiện ĐK của giữa trung tâm tam giác ta suy ra vấn đề cần minh chứng.

Vấn đề 5.

Xác định vị trí của một điểm nhờ vào đẳng thức vectơ

1. Pmùi hương pháp

Sử dụng những xác định và những công thức sau :

*
*
⇔ A ≡ B ;Cho điểm A và cho
*
. Có duy nhất điểm M sao cho
*
=
*
;
*
=
*
 ⇔ B ≡ C, 
*
=
*
*
≡ A.

2. Các ví dụ

ví dụ như 1. Cho tam giác ABC tất cả D là trung điểm của BC. Xác định vị trí của điểm G biết

*
= 2
*
.

GIẢI

Từ

*
= 2
*
, suy ra bố điểm A, G, D trực tiếp mặt hàng, AG = 2GD cùng điểm G trung tâm A với D. Vậy G là trung tâm của tam giác ABC (h.1.24).

lấy một ví dụ 2. Cho nhị điểm A với B. Tìm điểm I làm sao để cho

*
+ 2
*
=
*

GIẢI

*
+ 2
*
*
 ⇔ 
*
= -2
*

Từ đó suy ra |

*
| = |-2
*
| xuất xắc IA = 2IB, 
*
và 
*
ngược phía (h.1.25).

Vậy I là vấn đề thuộc đoạn AB mà IB =

*
AB.

lấy một ví dụ 3. Cho tứ đọng giác ABCD. Xác xác định trí điểm G thế nào cho

*
+
*
+
*
+
*
=
*
.

GIẢI

Ta bao gồm

*
+
*
= 2
*
, trong số ấy I là trung điểm của AB và
*
+
*
= 2
*
, trong những số đó K là make up của CD. Vậy theo đưa thiết ta tất cả 2
*
+ 2
*
*
tuyệt
*
+
*
=
*
(h. 1.26).

Do đó G là trang điểm của đoạn thẳng IK.

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

1.trăng tròn. Tìm giá trị của m sao cho

*
= m
*
trong các ngôi trường hợp sau :

a)

*
=
*
 ≠ 
*
;

b) a = -b cùng a * 0 ;

c)

*
= –
*
 thuộc hướng với |
*
| = 20,|
*
| = 5 ;

d)

*
,
*
ngược hướng với |
*
| = 5, |
*
| = 15 ;

e)

*
=
*
,
*
*
;

g)

*
*
,
*
=
*
;

h)

*
=
*
,
*
=
*
.

⇒ Xem giải đáp tại trên đây.

1.21. Chứng minch rằng :

a) Nếu 

*
=
*
thì m
*
= m
*
) ;

b) m

*
= m
*
với m ≠ 0 thì
*
=
*
;

c) Nếu m

*
= n
*
cùng
*
 ≠
*
thì m = n

⇒ Xem lời giải tại đây.

1.22. Chứng minc rằng tổng của

*
vectơ
*
bằng n
*
(n là số nguim dương).

Xem thêm: Tả Một Người Ở Địa Phương Em Sinh Sống, Văn Mẫu Lớp 5:

⇒ Xem lời giải trên trên đây.

1.23. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng giả dụ

*
+
*
+
*
=
*
thì G là trọng tâm của tam gi